Αριθμητική Ανάλυση
Περίγραμμα Μαθήματος
| Κωδικός Μαθήματος: | ΣΤ3Ε |
| Εξάμηνο: | Επιλογής Εαρινό |
| Μονάδες ECTS: | 3 |
| Εβδομαδιαίες Ώρες Διδασκαλίας: | 4 |
| Σελίδα Μαθήματος: | https://eclass.duth.gr/courses/TME242/ |
| Διδάσκοντες: | ΚΑΤΣΑΒΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ |
Περιγραφή Μαθήματος
Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Αριθμητικοί Υπολογισμοί και Σφάλματα. Θεωρία Σφαλμάτων : Σφάλματα, Αριθμητική κινητής υποδιαστολής, Μετάδοση σφαλμάτων., Το περιβάλλον συγγραφής επιστημονικών εργασιών LateX., Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πολυπλοκότητας, κλάσεις πολυπλοκότητας, κανόνες υπολογισμού της πολυπλοκότητας. Οι κλάσεις P και NP. Προβλήματα απόφασης και προβλήματα βελτιστοποίησης. Ευρετικοί αλγόριθμοι με παραδείγματα και εφαρμογές στην επιστήμη του μηχανικού παραγωγής και διοίκησης ,Υπολογισμός σειρών απείρων όρων μαθηματικών συναρτήσεων (Taylor και MacLaurin), Σφάλμα αποκοπής, διόρθωση. Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων : Ρίζες μη γραμμικών εξισώσεων, Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων ανοικτού και κλειστού διαστήματος (Σύγκλιση, ταχύτητα σύγκλισης ), Μέθοδος Διχοτόμησης, Εσφαλμένης θέσης, Τέμνουσας, Newton-Raphson, Fixed point iteration. Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων : Άμεσες μέθοδοι (Επίλυση Διαγωνίου, Άνω-Κάτω Τριγωνικού Συστήματος, Απαλοιφή Gauss, μέθοδος Gauss – Jordan, μέθοδος παραγοντοποίησης LU), Επαναληπτικές Μέθοδοι (Μέθοδος Gauss-Seidel, Jacobi, διαδοχικής υπερχαλάρωσης). Πολυπλοκότητα των μεθόδων – σύγκριση, Εφαρμογές των μεθόδων επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων στην επιστήμη του μηχανικού : επίλυση δικτυωτών φορέων, επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων, δυναμική – μητρώα στιβαρότητας. Αραιοί πίνακες και υπολογιστικές μέθοδοι, Γραμμική Παρεμβολή : Τύποι παρεμβολής Newton, Τύποι παρεμβολής Lagrange, πεπερασμένες διαφορές, πολυπλοκότητα, σύγκριση, εφαρμογές. Αριθμητική Ολοκλήρωση : Μέθοδος των τραπεζίων, Μέθοδοι Newton-Cotes, Μέθοδοι Simpson, Μέθοδος Gauss. Εφαρμογή των μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης στην επιστήμη του μηχανικού. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος Euler. Βελτιωμένη Μέθοδος Euler. Μέθοδοι Runge-Kutta: 2ης, 3ης και 4ης τάξης. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών. Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων. Εφαρμογές των μεθόδων επίλυσης συνήθων ΔΕ στην επιστήμη του μηχανικού. Υλοποίηση των αριθμητικών μεθόδων σε περιβάλλον MATLAB, Octave.
Σκοπός του μαθήματος
Σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να κατανοήσουν:
i. Τη σημασία των αριθμητικών υπολογισμών και τη θεωρία που αφορά τα σφάλματα που υπεισέρχονται, παρουσιάζοντας τους ορισμούς των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης και αποκοπής, τα σφάλματα της μετατροπής πραγματικών δεκαδικών αριθμών σε αριθμούς κινητής υποδιαστολής (floatingpoint) στον Η/Υ και την μετάδοση αυτών των σφαλμάτων στις πράξεις μεταξύ αριθμών κινητής υποδιαστολής.
ii. Τον προσεγγιστικό υπολογισμό μαθηματικών σειρών (Taylor&MacLaurin) και την προσομοίωση των μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν στις μαθηματικές βιβλιοθήκες των γλωσσών προγραμματισμού, τόσο μέσω αριθμητικών υπολογισμών όσο και με συγγραφή πηγαίου κώδικα σε γλώσσα C,C++ ή MATLAB.
iii. Τις προσεγγιστικές μεθόδους εύρεσης των ριζών μη γραμμικών εξισώσεων και πολυωνύμων και τη δημιουργία των αντίστοιχων αλγορίθμων για την υλοποίησή τους μέσω C, C++ ή MATLAB.
iv. Τις άμεσες και προσεγγιστικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων καθώς και την πολυπλοκότητα κάθε μεθόδου.
ν. Τις μεθόδους εύρεσης πολυωνύμων παρεμβολής από ένα πίνακα τιμών κάποιας άγνωστης συνάρτησης, καθώς και την πολυπλοκότητά τους.
vi. Τις δημοφιλείς προσεγγιστικές μεθόδους κλειστού διαστήματος για την εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων, και την υλοποίησή τους σε περιβάλλον προγραμματισμού C,C++ ή MATLAB.
vii. Τις θεμελιώδεις μεθόδους επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Euler&Runge-Kutta)
